- Oggetto:
- Oggetto:
Calcolo delle Probabilità 2 - a.a. 2014/15
- Oggetto:
A second course in Probability
- Oggetto:
Anno accademico 2014/2015
- Codice dell'attività didattica
- INT0411
- Docente
- Prof. Cristina Zucca (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Triennale Interfacoltà in Matematica per la Finanza e l'Assicurazione
- Anno
- 3° anno
- Tipologia
- D.M. 270 TAF A - Base
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/06 - probabilita' e statistica matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
-
Calcolo delle Probabilità e Statistica
Preferibilmente:
Analisi Matematica 1
Analisi Matematica 2
Concepts introduced in the Probability and Statistics course is mandatory for a good comprehension of this course. It is not mandatory having passed the exam of that course. - Propedeutico a
-
I concetti introdotti in questo corso sono utili a quanti proseguano con la
laurea magistrale, specie se in in ambito probabilistico. Non sono però
indispensabili e lo studente potrà recuperare alcune abilità che si
acquisiscono in questo corso autonomamente, seppure con un maggiore sforzo.
Contents of this course are useful to students that will pursue their career
in the Master program. This is particularly true for those who want to
choose a probabilistic curriculum. However this choice is not mandatory
and the student will be able to attain by himself the abilities that are
developed in this course. Of course this will request his a special effort. - Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso si propone di sviluppare negli studenti le capacità necessarie per
formulare modelli probabilistici di situazioni di interesse applicativo. Lo
studio di processi stocastici e delle relative proprietà verrà finalizzata alla
formulazione di modelli relativi a situazioni reali. Tra gli obiettivi del corso
vi è lo sviluppo delle capacità necessarie per la formulazione e lo studio
di semplici modelli probabilistici.
INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di
Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino",
http://www.study-in-italy.it/php5/scheda_corso.php?
ambiente=offf&anno=2009&corso=1214968 )
Conoscenza e capacità di comprensione Il corso, partendo dalle
conoscenze di base relative al calcolo delle probabilità (obiettivo 3),
introduce i primi concetti relativi ai processi stocastici, utili per lo
sviluppo di semplici modelli stocastici e per il loro studio (obiettivo 17).
Alcuni esercizi proposti, legati alla simulazione di modelli, richiedono la
scrittura di semplici programmi con software scelti dallo studente in base
alle sue competenze computazionali e informatiche (obiettivo 18). Il
corso utilizza un testo in inglese, adottato in larghissimo numero di
università nel mondo. Questa scelta favorisce l’abitudine alla lettura di
letteratura matematica in lingua inglese.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione Il corso presenta
nozioni relative ai processi stocastici, evitando l’utilizzo della teoria della
misura, non vengono quindi presentati alcuni risultati che
richiederebbero mezzi astratti. Si considerano solo risultati trattabili con i
mezzi a disposizione a uno studente triennale. Questo non impedisce allo
studente di comprendere e impadronirsi di concetti di primaria
importanza. lavorandoci in modo rigoroso e riuscendo a dimostrare
autonomamente alcuni risultati simili a quelli discussi in aula (obiettivo
1). Il corso è orientato alla soluzione di problemi, che vengono
regolarmente assegnati, corretti dal docente e poi discussi in aula. Tali
esercizi sono parte integrante della prova d’esame (obiettivi 2,3,4). In
alcuni casi la soluzione degli esercizi può avvenire anche con l’ausilio di
strumenti computazionali o informatici (obiettivo 5)
Autonomia di giudizio Gli esercizi che vengono proposti possono venir
risolti individualmente o in gruppo. Il confronto con i compagni di corso,
nel lavoro a casa o durante le correzioni in aula, favorisce lo sviluppo di
capacità logiche per riuscire a chiarire ai compagni le proprie soluzioni(obiettivo 1 e 4). Spesso gli esercizi proposti possono venir risolti in modi
molto diversi. La presentazione di soluzioni di altri permette di sviluppare
capacità di riconoscimento di errori in dimostrazioni distinguendo anche
dimostrazioni corrette alternative (obiettivo 3) .
Abilità comunicative Le numerose discussioni sui diversi metodi per
risolvere gli esercizi proposti consentono di migliorare le capacità di
comunicazione (obiettivo 1 per la lingua italiana). Inoltre la
formalizzazione in modelli di semplici realtà fisiche, informatiche o
biologiche allena lo studente a rivolgersi a un pubblico non matematico,
presentando risultati di studi matematici (obiettivo 2). Il corso utilizza un
testo in lingua inglese, rendendo familiare per lo studente l’uso scientifico
di tale lingua (obiettivo 3)
Capacità di apprendimento Il corso fornisce alcuni concetti di base della
teoria dei processi stocastici che saranno utili a quanti proseguiranno per
avere in mente semplici esempi che illustreranno concetti più astratti
(obiettivo 1). Gli stessi concetti, specie quelli relativi alla modellizzazione,
potranno essere di estrema utilità in ambito lavorativo (obiettivo 2). L’
apprendimento del metodo scientifico alla base della formulazione di
modelli matematici potrà poi rivelarsi utile, anche a distanza di tempo,
per la formalizzazione logica o matematica di realtà di svariata natura
(obiettivo 4).Students will develop the necessary skills to write down simple
probabilistic models of applied interest. The introduction of stochastic
processes and their properties is always motivated by the wish to
develop models for observed phenomena. Aim of the course include the
development of the abilities for the formulation and the study of simple
stochastic models
DUBLIN DESCRIPTORS (see
http://www.study-in-italy.it/php5/scheda_corso.php?
ambiente=offf&anno=2009&corso=1214968 )
Knowledge and understanding: The course introduces first topics in
Stochastic Processes Theory making use of basic knowledge learnt in the
Probability and Statistics course (goal 3). The aim is to give to the
student the necessary tools for the development of simple stochastic
models and for their study (goal 17). Some model simulation exercises
request the development of simple software programs. The choice of the
software is made by the student in accordance with his computational
and computer science skills (goal 18). The textbook is in English and its
use is common to many universities in the world. This choice helps the
student to get used to English for scientific purposes
Applying knowledge and understanding:
The introduction of stochastic processes theory is performed avoiding the
use of measure theory concepts. Too abstract concepts are not
considered in this course. The discussed results can be dealt at the level
of an undergraduate student. This approach is not incompatible with a
good understanding of important concepts and with a rigorous work on
them. The student becomes used to proof by himself results analogous to
those discussed during the lessons (goal 1). Main goal of the course is to
help the student to develop skills necessary for stochastic problem
solving. To attain this aim exercises are regularly assigned and
individually corrected. A discussion in class on the most interesting
mistakes helps to improve individual criticism. These exercises are
considered as part of the final exam (goals 2,3,4). Sometimes the
solution of exercises requests the use of computational tools or suitablesoftware (goal 5)
Making judgements:
Teamwork is allowed for the solution of assigned exercises. Group
discussions home or during the lessons are encouraged to develop logic
abilities and to improve communication skills (goals 1 and 4). Often the
solution technique for the proposed exercises is not unique. Students are
invited to present their solution to the class. Abilities in recognizing
possible mistakes and understanding details in alternative proofs are
developed through exercises discussions (goal 3)
Communication
Communication skills are improved defending individual approach to the
exercise solution (goal 1 for Italian language). The student improves his
ability to communicate with non mathematical people through his effort
to model features of physical, computer science or biological facts and
reporting the results suggested by the formulated model (goal 2). The
textbook is in English, making the student used to English for scientific
purposes (goal 3)
Learning skills .
The concepts introduced in this course will be useful to students that will
pursue their studies at the master level. Indeed they will have clear
examples in their mind for the more abstract concepts that will be part of
their future studies (goal 2). The same concept, with special regard to
modeling skills, will be useful for many different job activities (goal 2).
Learning the scientific method is basic to develop mathematical models
and it will be useful in the future activities of the student, to formalize
different facts (goal 4).- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Conoscenza delle principali metodologie utili per lo studio di alcune classi di processi stocastici a tempo e spazio discreti. Capacità di utilizzare le proprietà del Processo di Poisson in ambito modellistica. Sviluppo delle abilità necessarie per la formulazione di modelli stocastici di interesse per le applicazioni.
Knowledge of methods useful to study some classes of stochastic
processes. Ability in using Poisson and Markov processes to model
observed facts. Development of abilities useful to propose and study
stochastic models of applied interest.- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame orale con soluzione di esercizi. Viene inizialmente richiesto lo svolgimento di uno o due esercizi, la prova orale consiste in domande relative alla teoria, alle dimostrazioni presentate nel corso e ci sarà una discussione degli errori degli esercizi svolti.Oral exam, solution of exercises is request during the test. Initially the solution of one or two exercises is required, the oral examination consists of questions related to the theory, demonstrations presented in the course and there will be a discussion of the errors of the exercises.- Oggetto:
Attività di supporto
Al termine di ciascun argomento del corso verra' distribuito un foglio esercizi. Gli studenti dovranno consegnare le soluzioni entro la data indicata per ciascun foglio. La docente correggerà gli esercizi consegnati chiarendo in aula gli errori piu' frequenti, durante un'apposita seduta di correzione.
- Oggetto:
Programma
Variabili aleatorie multivariate. Probabilità condizionate e valori attesi condizionati con applicazioni (tempo medio per il riapparire di un pattern).
Catene di Markov: equazione di Chapman Kolmogorov; classificazione degli stati, probabilità limite; applicazioni: cammino casuale, rovina di un giocatore.
Distribuzione esponenziale e processo di Poisson: principali proprietà ed esempi di applicazioni: problemi di code, di affidabilità. Processo di Poisson composto .
Catene di Markov a tempo continuo: processi di nascita e morte.
Moto Browniano e processi stazionari: distribuzione del massimo, tempo di prima uscita. Moto Browniano geometrico. Applicazioni in ambito finanziario: prezzo delle opzioni e modello di Black and Scholes.Nozioni di Copula e relative proprietà.
Jointly distributed random variables; conditional probability and conditional expectation; examples (mean time for patterns)
Markov chains; Chapman Kolmogorov equation; classification of states; limiting probabilities; examples (random walk, gambler’s ruin).
The exponential distribution and the Poisson process; examples (queue problems; reliability problems); compound Poisson process.
Continuos-time Markov chains: birth and dead processes.
Brownian motion and stationary stochastic processes; maximum variable; geometric Brownian motion; example: Black and Scholes option pricing formula.
Copulas and their properties.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
Ross S.M. Introduction to probability models. Academic Press, 2003.
- Oggetto:
Note
CALCOLO DELLE PROBABILITA' 2, INT0411 (DM270), 6 CFU: 6 CFU, MAT/06, TAF A (Base), Ambito Formazione matematica di base
Modalità di verifica/esame (scritto, orale, scritto e orale congiunti, scritto e orale separati, voto o giudizio): Esame: orale comprende la soluzione di esercizi.
- Oggetto:
