- Oggetto:
- Oggetto:
Analisi Matematica 1
- Oggetto:
Mathematical Analysis 1
- Oggetto:
Anno accademico 2023/2024
- Codice attività didattica
- INT0393
- Docenti
- Walter Dambrosio (Titolare)
Stefano Vita (Titolare) - Corso di studio
- [090712] MATEMATICA PER LA FINANZA E L'ASSICURAZIONE
- Anno
- 1° anno
- Periodo
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF A - Base
- Crediti/Valenza
- 12
- SSD attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
- Erogazione
- Doppia
- Lingua
- Italiano
- Frequenza
- Facoltativa
- Tipologia esame
- Scritto e Orale
- Prerequisiti
-
L’insegnamento prevede la conoscenza dei contenuti di matematica di base forniti dalla scuola secondaria di secondo grado.
In particolare, a livello di conoscenze e comprensione in ingresso lo studente dovrà:
- conoscere i concetti di base sulla retta;
- conoscere le funzioni quadratiche e le loro proprietà algebriche e grafiche;
- conoscere i grafici delle funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche;
- conoscere gli elementi essenziali di trigonometria (misure degli angoli in radianti, grafici delle funzioni circolari);
- conoscere i concetti di dominio, immagine, zeri, segno e monotonia per funzioni reali di una variabile reale.
Inoltre, come applicazione di conoscenza e comprensione, lo studente dovrà saper:
- tracciare il grafico delle funzioni lineari, quadratiche, esponenziali, logaritmiche, circolari;
- risolvere equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche, anche per via grafica;
- trasformare la misura di un angolo da gradi a radianti e viceversa;
- determinare dominio, immagine, zeri e segno, monotonia di una funzione a partire dal suo grafico.I prerequisiti richiesti potranno essere recuperati attraverso il “Corso di riallineamento di Matematica” presente sulla Piattaforma Orient@mente.
The teaching requires knowledge of the basic mathematics content provided by the upper secondary school.
In particular, in terms of knowledge and understanding, at the entrance the student will have to:
- know the basic concepts of the straight line;
- know quadratic functions and their algebraic and graphical properties;
- know the graphs of power, exponential and logarithmic functions;
- know the essential elements of trigonometry (measurements of angles in radians, graphs of circular functions);
- know the concepts of domain, image, zeros, sign and monotonicity for real functions of real variable.
Furthermore, as an application of knowledge and understanding, the student should be able to:
- draw the graph of linear, quadratic, exponential, logarithmic and circular functions;
- solve first and second order equations and inequalities, as well as exponential, logarithmic and trigonometric ones, also graphically;
- transform the measurement of an angle from degrees to radians and vice versa;
- given the graph of a function, determine its domain, image, zeros, sign and monotonicity.
The required prerequisites can be recovered through the "Mathematics realignment course" on the platform Orient@mente. - Propedeutico a
-
Analisi matematica 2
Mathematical Analysis 2 - Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
L'insegnamento ha lo scopo di presentare ed applicare in ambito economico-finanziario le nozioni di base su funzioni, grafici e loro trasformazioni, di introdurre i concetti di derivata e di integrale definito e di illustrare l’utilizzo di tecniche di tipo analitico nello studio di fenomeni discreti.
L’insegnamento concorre agli obiettivi della formazione teorica di base, con particolare riferimento alla capacità di costruire ragionamenti logici, riconoscere argomentazioni corrette, ed in parte a quella pratico-laboratoriale, con la capacità di analizzare modelli matematici.
The course aims to present and apply the basic notions of functions, graphs and their transformations in the economic-financial field, to introduce the concepts of derivative and definite integral and to illustrate the use of analytical techniques in the study of discrete phenomena.
The teaching contributes to the objectives of the basic theoretical training, with particular reference to the ability to build logical reasoning, recognize correct arguments, and in part to the practical-laboratory one, with the ability to analyze mathematical models.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Conoscenza e comprensione
Alla fine di questo insegnamento lo studente dovrà:
- riconoscere i grafici e le proprietà asintotiche delle funzioni elementari e saperne individuare gli aspetti fondamentali in termini di modello matematico
- conoscere la definizione di limite, il suo significato, le sue interpretazioni grafiche e ricordare i principali risultati teorici sui limiti
- conoscere la definizione di derivata, le sue varie interpretazioni, i principali risultati sul calcolo differenziale
- spiegare il problema dell’approssimazione locale di una funzione in un punto e conoscere la teoria relativa ai polinomi di Taylor
- descrivere la definizione di integrale definito di una funzione su un intervallo e le sue interpretazioni
- enunciare e dimostrare il Teorema fondamentale del calcolo integrale ed interpretarlo criticamente, evidenziando la sua centralità rispetto alle nozioni di derivata e integrale definito
- discutere il comportamento asintotico e le proprietà qualitative di una successione, anche definita per ricorrenza
- illustrare il problema della risolubilità esatta ed approssimata di un’equazione e conoscere i principali metodi per la risoluzione approssimata
- conoscere il significato di un’equazione differenziale, la sua rilevanza in termini di modello matematico e saper discutere la risolubilità, anche approssimata, di alcune classi di equazioni differenziali
- spiegare il concetto di integrale improprio, ricordarne la definizione ed i principali risultati teorici relativi alla convergenza.
Applicare conoscenza e comprensione
Alla fine di questo insegnamento lo studente avrà sviluppato capacità di lavorare sia su aspetti grafici sia su aspetti di calcolo, approssimato o esatto.
In particolare, a livello di grafici saprà:
- ottenere dal grafico di una funzione il grafico di nuove funzioni, mediante trasformazioni geometriche o mediante l’uso delle proprietà delle funzioni composte
- tracciare il grafico della derivata di una funzione a partire dal grafico della funzione stessa, analizzando in modo critico i legami tra una funzione e la sua derivata
- discutere la risolubilità di un’equazione, mediante il confronto tra grafici
A livello di calcolo approssimato saprà:
- determinare l’approssimazione di una funzione in un punto mediante un polinomio di Taylor e utilizzarla per stimare i valori della funzione
- eseguire ed implementare lo schema ricorsivo del metodo di Newton per stimare le soluzioni di un’equazione
- calcolare in modo approssimato integrali definiti utilizzando la formula del punto medio e stimare l’errore commesso
- applicare il metodo di Eulero per risolvere in modo approssimato un problema di Cauchy
A livello di calcolo esatto saprà:
- calcolare semplici limiti di funzioni e successioni
- calcolare la derivata di una funzione e le sue primitive, in alcuni casi notevoli
- determinare gli intervalli di monotonia e quelli di convessità/concavità di una funzione
- calcolare integrali definiti o integrali impropri
- risolvere alcune particolari equazioni differenziali
Inoltre, lo studente saprà utilizzare gli strumenti matematici appresi per studiare alcuni problemi modello in ambito economico (ad esempio: minimizzazione del costo medio; massimizzazione del profitto) e per interpretare e rielaborare grafici qualitativi e dati quantitativi di fenomeni di tipo fisico (cinematica del punto, oscillazioni meccaniche).
Autonomia di giudizio
Alla fine di questo insegnamento lo studente saprà:
- costruire ragionamenti fondati, con la necessaria coerenza logica
- riconoscere argomentazioni corrette ed individuare ragionamenti fallaci
- riconoscere ed individuare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni
- collegare e commentare criticamente i principali risultati teorici illustrati nel corso dell’insegnamento, individuando i legami che tra essi intercorrono
Capacità di apprendimento
Alla fine di questo insegnamento lo studente saprà affrontare nuovi semplici problemi che richiedano competenze interdisciplinari, analizzando possibili strategie di risoluzione.
Knowledge and understanding
At the end of this teaching the student will have to:
- recognize graphs and asymptotic properties of elementary functions and be able to identify the fundamental aspects in terms of mathematical model
- know the definition of limit, its meaning, its graphical interpretations and remember the main theoretical results on limits
- know the definition of derivative, its interpretations, the main results on differential calculus
- explain the problem of local approximation of a function in a point and know the theory of Taylor polynomials
- describe the definition of definite integral of a function on an interval and its interpretations
- state and prove the Fundamental Theorem of integral calculus and interpret it, highlighting its centrality with respect to the notions of derivative and definite integral
- discuss the asymptotic behavior and the qualitative properties of a sequence, also defined by recurrence
- explain the problem of the exact solvability and approximate solvability of an equation and know the main methods for the approximate resolution
- know the meaning of a differential equation, its relevance in terms of mathematical model and know how to discuss the solvability, even approximate, of some classes of differential equations
- explain the concept of improper integral, recall its definition and the main theoretical results related to convergence.
Apply the knowledge and comprehension
At the end of this teaching the student will have developed the ability to work both on graphical and calculus aspects, the latter both approximate and exact.
In particular, concerning graphs, he will be able to:
- obtain from the graph of a function the graph of new functions, through geometric transformations or through the use of the properties of the composition of two or more functions
- draw the graph of the derivative of a function starting from the graph of the function itself, analyzing the links between a function and its derivative
- discuss the solvability of an equation, by comparing graphs
Concerning the approximate calculus, he will be able to:
- determine the approximation of a function at a point using a Taylor polynomial and use it to estimate the values of the function
- perform and implement the recursive scheme of Newton's method to estimate the solutions of an equation
- approximate definite integrals using the midpoint formula and estimate the error committed
- apply Euler's method to solve approximately a Cauchy problem
Concerning the exact calculus, he will be able to:
- compute simple limits of functions and sequences
- compute the derivative of a function and its primitives, in some particular cases
- determine the monotonicity intervals and the convexity/concavity intervals of a function
- compute definite or improper integrals
- solve some particular differential equations
Furthermore, the student will be able to use the mathematical tools learned to study some model problems in the economic field (for example: minimization of the average cost; maximization of profit) and to interpret and re-elaborate qualitative graphs and quantitative data of phenomena of a physical type (kinetic point , mechanical oscillations).
Judgement autonomy
At the end of this teaching the student will know how to:
- build well-founded reasoning, with the necessary logical coherence
- recognize correct arguments and identify fallacious reasoning
- recognize and identify logical arguments with a clear identification of assumptions and conclusions
- connect and comment on the main theoretical results illustrated during the course, identifying the links between them
Learning ability
At the end of this teaching the student will be able to face new simple problems that require interdisciplinary skills, analyzing possible resolution strategies.
- Oggetto:
Programma
- Funzioni, grafici e modelli
- Funzioni elementari e loro grafici
- Trasformazioni geometriche di grafici
- Il concetto di limite
- Il concetto di limite nel caso continuo (limite di funzioni)
- Il concetto di limite nel caso discreto (limite di successioni)
- Principali risultati teorici sui limiti
- Legame tra limite e continuità
- Successioni definite per ricorrenza
- Crescite e confronti di crescite; i simboli di Landau
- Calcolo differenziale
- Derivata di una funzione in un punto
- Funzione derivata e funzioni primitive; relazioni tra una funzione e la sua derivata o le sue primitive
- Derivata e monotonia; derivata e convessità
- Approssimazione locale di funzioni mediante polinomi
- Risoluzione approssimata di equazioni
- Il Teorema di esistenza degli zeri ed il metodo di bisezione
- Il metodo di Newton
- Calcolo integrale
- Integrale definito di una funzione su un intervallo
- Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale
- Teorema di Torricelli-Barrow
- Integrali impropri
- Equazioni differenziali
- Equazioni differenziali del primo ordine lineari o a variabili separabili
- Il metodo di Eulero per la risoluzione approssimata di un problema di Cauchy
- Equazioni differenziali del secondo ordine lineari a coefficienti costanti
Il programma dettagliato dell’insegnamento sarà disponibile su Moodle.
- Functions, graphs and models
- Elementary functions and their graphs
- Geometric transformations of graphs
- The concept of limit
- The concept of limit in the continuous case (limit of functions)
- The concept of limit in the discrete case (limit of sequences)
- Theoretical results on limits
- The link between limit and continuity
- Sequences defined by recurrence
- Growths and their comparison; the Landau symbols
- Differential calculus
- Derivative of a function in a point
- The derivative as a function and primitives; link between a function and its derivative or its primitives
- Derivative and monotonicity; derivative and convexity
- Local approximation of functions through polinomials
- Approximate resolutions of equations
- The intermediate zero theorem and the bisection method
- Newton’s method
- Integral calculus
- Definite integral of a function on an interval
- The fundamental theorem of the integral calculus
- Torricelli-Barrow’s theorem
- Improper integrals
- Differential equations
- First order differential equations linear or with separable variables
- Euler’s method for the approximate solution of a Cauchy problem
- Second order differential equations with constant coefficients
The detailed teaching program will be available on Moodle.
- Oggetto:
Modalità di insegnamento
Le modalità di insegnamento comprendono: lezioni frontali, lezioni inverse (flipped), apprendimento attivo in aula e a distanza, esercitazioni in aula.
- Lezioni frontali e attività in aula
- lezioni frontali supportate dall’uso di strumenti di videoscrittura e di software di visualizzazione dinamica e calcolo simbolico;
- attività ed esercitazioni in aula con eventuale partecipazione degli studenti (svolgimento di esercizi, discussioni, gruppi di lavoro).
- Attività e materiale online (Piattaforma Moodle)
- calendario delle lezioni e delle esercitazioni;
- video sostitutivi delle lezioni frontali per argomenti erogati in modalità inversa (flipped);
- quiz ed assegnazioni per l'apprendimento e l'autovalutazione.
L’insegnamento, con le sue modalità ed attività, contribuisce a formare e consolidare le seguenti competenze trasversali:
- capacità di lavoro di gruppo e di coordinamento, attraverso attività svolte in aula;
- gestione del tempo, attraverso lo svolgimento di prove di autovalutazione informatizzate aventi tempo stabilito;
- corretta attribuzione causale di successi ed insuccessi, attraverso lo svolgimento di prove di autovalutazione con feedback da parte dei docenti.
The teaching methodologies include: frontal lessons, flipped lessons, active classroom and distance learning, classroom exercises.
- Frontal lessons and classroom activities
- frontal lessons supported by the use of word processing tools and dynamic visualization and symbolic calculation software;
- activities and exercises in the classroom with the possible participation of students (exercises, discussions, working groups).
- Online activities and materials (Moodle Platform)
- schedule of lessons and exercises;
- videos of the lessons for topics delivered in reverse mode (flipped);
- quiz and assignments for learning and self-assessment.
The teaching, with its methodologies and activities, contributes to forming and consolidating the following transversal skills:
- teamwork and coordination skills, through activities carried out in the classroom;
- time management, by carrying out computerized self-assessment tests with a fixed time;
- correct causal attribution of successes and failures, by carrying out self-evaluation tests with feedback from teachers.
- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
L’insegnamento prevede due prove, entrambe svolte in modalità informatizzata.
Le prove devono essere sostenute e superate nello stesso appello d’esame; nel caso di non superamento di una di esse all’appello successivo bisogna sostenere nuovamente tutte le prove.
La prima prova ha carattere teorico e prevede di rispondere a domande, di varia tipologia, relative ai concetti introdotti nell’insegnamento. La prova ha come obiettivo la verifica della conoscenza e della comprensione degli argomenti, con riferimento a definizioni, enunciati, dimostrazioni, significati, interpretazioni e collegamenti, in accordo anche con i risultati attesi dell’apprendimento relativi all’autonomia di giudizio.
La prova è superata se si raggiunge un punteggio di almeno 16/30.
La seconda prova ha l'obiettivo di verificare la capacità di applicare le conoscenze teoriche e la capacità di apprendimento ed è divisa in due parti. La prima consiste nella risposta ad alcune domande a scelta multipla ed è valutata al massimo 16 punti; la seconda parte consiste nella risoluzione di alcuni esercizi ed è valutata al massimo 14 punti. Le domande e gli esercizi sono di varie tipologie e riguardano problemi simili a quelli affrontati durante le lezioni e le esercitazioni.
La prova è superata se si raggiunge un punteggio di almeno 18/30, come somma dei punteggi delle due parti.
L’esame è superato se la media tra i punteggi ottenuti nella prima e nella seconda prova è almeno 18/30.
Durante lo svolgimento delle prove non è consentito consultare libri, appunti e dispositivi elettronici.
Bonus: lo studente che svolgerà entro le scadenze previste le attività segnalate potrà usufruire di un bonus di 2 punti da aggiungere al punteggio della seconda prova.
Le attività previste per il bonus sono specificate sulla pagina Moodle dell’insegnamento.
Studenti degli anni accademici precedenti all’anno accademico 2023-2024: gli studenti degli anni accademici precedenti possono scegliere di sostenere l’esame con il programma e le modalità dell’anno in corso oppure con il programma dell’anno accademico 2022-2023.
Nel caso in cui si presentino con il programma dell’anno accademico 2022-2023 l’esame consisterà in due prove scritte non informatizzate, la prima di teoria (definizioni, enunciati, dimostrazioni) e la seconda di esercizi. Gli esercizi saranno della stessa tipologia di quelli svolti nell’anno accademico 2022-2023.
Studenti con disabilità o con DSA: gli studenti con disabilità o con DSA sono invitati a mettersi in contatto con il docente ad inizio insegnamento, per concordare le modalità di apprendimento e di esame più adatte alla loro situazione.
Sono inoltre invitati a seguire le indicazioni d’Ateneo, reperibili a
https://www.unito.it/servizi/lo-studio/studenti-con-disabilita
per ufficializzare la loro situazione.
The course includes two tests, both carried out in computerized mode.
The tests must be given and passed in the same exam session; in the case of failing one of them at the next appeal you have to take all the tests again.
The first test has a theoretical nature and involves answering questions of various types relating to the concepts introduced in the teaching. The test has as its objective the verification of knowledge and understanding of the topics, with reference to definitions, statements, proofs, meanings, interpretations and connections, also in accordance with the expected learning outcomes relating to independent judgement.
The test is passed with a minimal score of 16/30.
The second test consists of answering some multiple choice questions and solving some exercises, with the aim of verifying the ability to apply theoretical knowledge and learning ability. The questions and exercises are of various type and concern problems similar to those faced during the lessons and exercises.
The test is passed with a minimal score of 18/30.
During the tests it is not allowed to consult books, notes and electronic devices.
Bonus: the student who carries out the indicated activities within the deadlines will be able to take advantage of a bonus of 2 points to be added to the score of the second test.
The activities foreseen for the bonus are specified on the teaching Moodle page.
Students of the past academic years (before 2023-2024): students of previous academic years can choose to take the exam with the program and procedures for the current year or with the program for the academic year 2022-2023.
In the event that they present themselves with the program for the academic year 2022-2023, the exam will consist of two non-computerized written tests, the first of theory (definitions, statements, demonstrations) and the second of exercises. The exercises will be of the same type as those carried out in the academic year 2022-2023.
Students with disabilities or with DSA: students with disabilities or with DSA are invited to get in touch with the teacher at the beginning of teaching, to agree on the learning and exam methods best suited to their situation.
They are also invited to follow the University instructions, which can be found at
https://www.unito.it/servizi/lo-studio/studenti-con-disabilita
in order to make their situation official.
- Oggetto:
Attività di supporto
Tutorato di frequenza settimanale.
Weakly tutoring
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Libro
- Titolo:
Analisi matematica – Fare e comprendere- Anno pubblicazione:
2018- Editore:
Zanichelli- Autore:
Walter Dambrosio- Obbligatorio:
- No
- Oggetto:
- Libro
- Titolo:
Esercizi di matematica, vol. 1- Anno pubblicazione:
2001- Editore:
Zanichelli- Autore:
Sandro Salsa, Annamaria Squellati- Obbligatorio:
- No
- Oggetto:
Orario lezioni
- Registrazione
- Aperta
- Oggetto:
