Corso di laurea in matematica per la Finanza e l'Assicurazione

L’insegnamento si propone di fornire allo studente le basi della logica matematica, con particolare riguardo per i suoi aspetti più rilevanti per la formazione di base di un informatico, tra cui una adeguata familiarità con le strutture algebriche e le principali tecniche di dimostrazione.

CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE. Conoscenza delle principali tecniche di dimostrazione e delle formulazioni classiche del principio di induzione. Conoscenza della struttura delle formule del primo ordine. Conoscenza delle definizioni delle principali nozioni semantiche relative alla logica del primo ordine (validità, conseguenza logica)

CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE. Capacità di riconoscere le principali tecniche di dimostrazione (diretta, per assurdo, per contrapposizione, per casi) in semplici dimostrazioni di proposizioni relative a strutture algebriche e relazionali. Dovrà dimostrare di riconoscere l’esistenza o meno di biiezioni tra insiemi infiniti costruiti mediante le operazioni di unione disgiunta, prodotto cartesiano, insieme potenza, e insieme delle sequenze finite. Dovrà essere in grado di utilizzare le principali forme del principio di induzione (ordinaria, forte, principio del minimo) in semplici dimostrazioni aritmetiche o relative alla sintassi formale dei linguaggi proposizionali e del prim’ordine. Dovrà essere in grado di analizzare sia sintatticamente che semanticamente le formule proposizionali, anche mediante l'uso di tavole di verità. Dovrà dimostrare di essere in grado di formalizzare mediante formule logiche semplici asserzioni formulate in italiano. Dovrà essere in grado di valutare la validità o meno di semplici formule del prim'ordine in strutture algebriche in accordo con le regole della semantica di Tarski e dovrà essere in grado di stabilire quando una formula non è conseguenza logica di altre formule provvedendo semplici controesempi. Dovrà inoltre sapere determinare l'insieme di verità di una data formula del prim'ordine in una struttura assegnata.

AUTONOMIA DI GIUDIZIO. Acquisizione dei criteri di base per riconoscere la corretta impostazione di una semplice dimostrazione.

ABILITÀ COMUNICATIVE. Acquisizione degli elementi della terminologia logica di base.

CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO. Acquisizione di capacità autonome di apprendimento e di autovalutazione della propria preparazione, teorica e pratica.

Tecniche di dimostrazione (8 ore circa) • Dimostrazione diretta, per assurdo, per contrapposizione; • Connettivi logici e loro significato in termini di condizioni di verità; • Tavole di verità e conseguenza logica tra proposizioni. Insiemistica di base (8 ore circa) • Insiemi • Relazioni • Funzioni Cardinalità (10 ore circa) • Insiemi numerabili e più che numerabili: esempi; • Operazioni infinitarie: unioni e intersezioni, prodotti e somme, con le principali proprietà. Il principio di induzione (6 ore circa) • Forma ordinaria e forte del principio di induzione; • Principio del minimo; • Equivalenza tra forme del principio di induzione; • Induzione strutturale; • Ricorsione. Formalizzazione (6 ore circa) • Linguaggi proposizionali e del prim’ordine: termini, quantificatori, alfabeto non logico, formule; • Schemi di traduzione da linguaggio naturale in linguaggi del prim’ordine (condizione sufficiente, necessaria, per tutti gli n abbastanza grandi, ci sono n arbitrariamente grandi,…) Semantica della Logica del primo ordine (14 ore circa) • Regole della semantica di Tarski per formule del primo ordine: esempi, e definizioni; • Conseguenza logica tra formule del primo ordine: definizioni e costruzione di contro-esempi.

Il corso sarà svolto esclusivamente online, utilizzando il materiale presente sulla piattaforma start@unito.

Le prove di esame sono scritte a meno di motivata richiesta di esame orale da parte del docente come integrazione della prova scritta. Le domande dello scritto e dell'eventuale orale possono riguardare sia la teoria che lo svolgimento di esercizi. L’esito dell’esame è espresso in trentesimi.