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Metodi Geometrici

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Geometrical Methods

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Anno accademico 2016/2017

Codice dell'attività didattica
INT0423
Docente
Prof. Cristiana Bertolin (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea Triennale Interfacoltà in Matematica per la Finanza e l'Assicurazione
Anno
2° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/03 - geometria
Modalità di erogazione
Doppia
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto e Orale
Prerequisiti

Conoscenza degli argomenti di Algebra e Algebra Lineare trattati nel corso di "Algebra Lineare e Geometria"

Conoscenza degli argomenti di Analisi trattati nel corso di "Analisi Matematica 1"

Verso la fine del corso saranno necessari alcuni argumenti del corso svolto in parallelo di "Analisi Matematica 2" (derivate parziali).


Good understanding of the contents of the courses "Analisi Matematica 1" and "Algebra Lineare e Geometria"

Propedeutico a
Tutti i successivi corsi di Analisi Matematica del secondo semestre e del terzo anno.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di fornire allo studente nozioni avanzate di algebra lineare e una introduzione alle geometria delle curve e superfici nello spazio e di fornire abilità rivolte alla soluzione di esercizi ed alla comprensione di teorie più avanzate. Ulteriore finalità è la preparazione dello studente all’applicazione delle nozioni apprese ad altre discipline scientifiche.

 

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino",

 

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding). Il corso sviluppa argomenti avanzati di Algebra Lineare e fornisce conoscenze di base sulla Geometria di Curve e Superfici.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding). La struttura teorica del corso consiste in una serie di teoremi con relative dimostrazioni, integrata da una parte di esercitazioni in cui vengono sviluppati metodi concreti per la soluzione di problemi. La comprensione delle dimostrazioni mette in grado lo studente di risolvere problemi di moderata difficoltà nel campo dell'Algebra Lineare e della Geometria Differenziale anche non identici a quelli presentati a lezione (obiettivo 1). Vengono inoltre utilizzati software specifici (Maple per il calcolo simbolico e la grafica) che consentono la risoluzione di problemi applicati (obiettivo 3).

Autonomia di giudizio (making judgements). Il corso prevede la dimostrazione di teoremi quindi permette agli studenti di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni (obiettivo 1), di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti errati o lacunosi (obiettivo 2). Vengono inoltre studiati vari esempi di applicazioni alle scienze, in modo da mettere in grado lo studente di proporre e analizzare modelli matematici associati a situazioni concrete di moderata difficoltà derivanti da altre discipline e di usare tali modelli per facilitare lo studio della situazione originale (obiettivo 3).

Abilità comunicative (communication skills). L'esame scritto ed orale richiede lo sviluppo di capacità comunicative per quanto concerne problemi, idee e soluzioni nei campi dell'Algebra Lineare e della geometria Differenziale (obiettivo 1).

Capacità di apprendimento (learning skills)
Il corso fornisce strumenti basilare per lo sviluppo di studi ulteriori, sia in Matematica sia in Economia (obiettivo 1). Lo studio teorico fornisce la capacità di affrontare autonomamente nuovi problemi di media difficoltà (obiettivo 3).

The course's aim is to provide students with advanced knowledge of linear algebra and an introduction to the geometry of curves and surfaces in space and to provide skills aimed at solution of exercises and understanding of more advanced theories. Another aim is to prepare the student to the application of concepts learned in other scientific disciplines.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Lo studente dovrà acquisire le principali nozioni teoriche e la capacità di svolgere esercizi di algebra lineare avanzata (determinazione della forma di Jordan di una matrice, decomposizione polare di una matrice) e di geometria differenziale delle curve e superfici nello spazio (determinazione di curvatura e torsione di una curva, studio della curvatura gaussiana di una superficie).

The student will acquire the main theoretical concepts and the ability to perform advanced exercises in linear algebra (determination of the Jordan form of a matrix, polar decomposition of a matrix), and differential geometry of curves and surfaces in space (determination of curvature and torsion of a curve, the study of the Gaussian curvature of a surface).

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Modalità di insegnamento

 L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie.

La prova scritta è composta da esercizi da risolvere e dura solitamente 2 ore. La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentati nell'insegnamento. 

Per maggiori dettagli si rimanda alla pagina web del corso su moodle. 

The exam consists in a written examination and an oral examination, both mandatory.

The written examination consists in exercises to solve, and usually lasts 2 hours. The oral examination consists of questions on the theory and the proofs treated in the course.

For more details, please see the web page of the course on moodle.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

La prova scritta è costituita da esercizi. La prova è valutata in 30simi. Per essere ammessi alla prova orale occorre raggiungere il punteggio di 18/30. La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso. Non ci sono domande che richiedono lo svolgimento di esercizi. Durante la prova orale ci sarà una discussione degli errori della prova scritta.

 

The written test consists of exercises. The test will be scored on a scale from 1 to 30. To be admitted to the oral exam one must achieve a score of 18/30. The oral examination consists of questions related to the theory and demonstrations presented during the course. There will not be exercises to be solved during the oral examination, but there will be a discussion of the errors of the written test.

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Programma

Algebra Lineare
 
Spazi duali, applicazioni aggiunte, applicazioni semisemplici e nilpotenti. Diagonalizzazione simultanea di matrici che commutano. Il Teorema di Cayley-Hamilton

Forme canoniche di matrici: diagonalizzazione e forma di Jordan. Decomposizione di Jordan astratta. Decomposizione di Schur. Decomposizione polare.

Caratterizzazione e proprietà degli operatori normali.

 

Geometria Differenziale

Curve nello spazio: curvatura e torsione di una curva. Basi di Frenet. Esistenza e unicità di curve con curvatura e torsione assegnata.

Superfici nello spazio: piano tangente e vettore normale. Prima e seconda forma fondamentale. Isometrie fra superfici. Curvatura sezionale. Curvatura Gaussiana. Il Theorema Egregium di Gauss.

Linear algebra

Dual spaces, adjoints, semisimple and nilpotent operators. Simultaneous diagonalization of commuting matrices. Cayley-Hamilton theorem.

Canonical forms for matrices: diagonalization and Jordan form. Abstract Jordan decomposition. Schur decomposition. Polar decomposition.

Properties of normal operators.

 

Differential Geometry

Space curves: curvature and torsion of a curve. Frenet basis. Existence and uniqueness of a curve with givem curvature and torsion.

Surfaces in Euclidean space: tangent plane and normal vector. First and second fundamental forms. Isometries. Sectional curvature. Gaussian curvature. Gauss' Theorema Egregium.

 

 

 

Testi consigliati e bibliografia

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Tutto il materiale necessario (dispense, prove d'esame passate, esercizi) è disponibile su Moodle.

All the necessary litterature is avaible in the web page of the course on Moodle.



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Orario lezioni

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Note

 

 

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Ultimo aggiornamento: 10/01/2017 15:46

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