- Oggetto:
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Calcolo delle Probabilità e Statistica - a.a. 2013/14
- Oggetto:
Probability and Statistics
- Oggetto:
Anno accademico 2013/2014
- Codice dell'attività didattica
- INT0400
- Docenti
- Dott. Federico Polito (Titolare del corso)
Prof. Maria Teresa Giraudo - Corso di studi
- Laurea Triennale Interfacoltà in Matematica per la Finanza e l'Assicurazione
- Anno
- 2° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF A - Base
- Crediti/Valenza
- 12
- SSD dell'attività didattica
- MAT/06 - probabilita' e statistica matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Scritto e Orale
- Prerequisiti
- Preferibilmente Analisi Matematica I
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire agli studenti una buona comprensione degli elementi fondamentali della moderna Teoria del calcolo delle probabilità e della Statistica matematica, attraverso una rigorosa definizione dei termini e delle strutture principali, accompagnata dalla chiara discussione dei teoremi principali, per alcuni dei quali con dimostrazioni complete e per altri con indicazione delle linee essenziali della dimostrazione. L’allievo dovrà essere in grado di esporre, collegare e confrontare i principali concetti e risultati presentati nel corso, di dimostrare i teoremi fondamentali del programma d’esame. Dovrà saper risolvere problemi coniugando le conoscenze teoriche con il riconoscimento, la selezione o la costruzione di modelli, seguendo l'esempio fornito dalle esercitazioni.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Definizioni precise di spazi di probabilità, regole elementari di calcolo, condizionamento ed indipendenza. Chiara nozione di variabile aleatoria, distribuzione ed eventuale densità; conoscenza del ruolo delle loro principali caratteristiche (media, varianza, momenti, funzioni generatrici). Saper utilizzare praticamente le distribuzioni congiunte. Conoscenza degli schemi e delle distribuzioni classiche, nel discreto e nel continuo. Saper discutere la Legge debole dei grandi numeri. Conoscere risultati di convergenza in distribuzione. Saper discutere e presentare le linee essenziali della dimostrazione di un teorema del limite centrale. Saper utilizzare con disinvoltura le principali regole del calcolo. Risolvere problemi che di norma richiedono un’interpretazione dell'enunciato e la selezione o l'adattamento di modelli noti. Saper costruire stimatori, intervalli di confidenza e test di ipotesi. Capacità ad affrontare teoricamente problemi statistici riconoscendo i mezzi più idonei per lo studio teorico e pratico del problema.
- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
Prova scritta con voto. Prova orale con voto finale. L'esito positivo della prova scritta permette l'accesso alla sola prova orale immediatamente successiva.
- Oggetto:
Programma
Prime definizioni di probabilità: legge empirica del caso, definizione
classica e definizione soggettiva. Costruzione assiomatica dello spazio
di probabilità: eventi, sigma-algebre, la probabilità, prime regole di
calcolo e continuità della misura di probabilità. Indipendenza e
condizionamento: formula delle probabilità totali e teorema di Bayes.
Lemma di Borel-Cantelli. Variabili aleatorie: funzione di
distribuzione e sue proprietà. Variabili discrete e variabili continue
(Bernoulli, Binomiale, Geometrica, Binomiale Negativa, Ipergeometrica,
Normale, Uniforme, Cauchy, Esponenziale, Gamma, Chi-Quadro, t di
Student,...). Variabili aleatorie multidimensionali, indipendenza tra
variabili aleatorie. Momenti. Funzione generatrice dei momenti e
funzione caratteristica. Disuguaglianze notevoli: Markov e Chebyshev.
Teoremi asintotici: convergenza in legge, convergenza in probabilità,
convergenza quasi certa, limite normale della distribuzione binomiale,
legge dei grandi numeri, teorema del limite centrale. Condizionamento
nel continuo.
Introduzione alla Statistica: il campionamento casuale con rimpiazzo.
Costruzione dello spazio campionario e definizione di campione casuale
estratto da una popolazione. Statistiche e momenti campionari. Media e
Varianza dei momenti campionari. Caso particolare della media
campionaria. Legame tra la media campionaria e la media della
popolazione. Varianza campionaria e sua media e varianza.
Distribuzione dei momenti campionari. Stima puntuale, definizione di
stimatore. Metodi per la ricerca degli stimatori: metodo dei momenti e
metodo della massima verosimiglianza. Proprietà degli stimatori:
correttezza, errore quadratico medio. Stimatori corretti a varianza minima
(UMVU). Teorema di Cramér-Rao. Proprietà asintotiche degli stimatori:
correttezza asintotica, consistenza. Sufficienza. Teorema di
fattorizzazione e teorema di Blackwell-Rao. Stima intervallare:
definizione di intervallo di confidenza. Metodo della quantità
pivotale per la ricerca degli IC. Test di ipotesi: definizione di
ipotesi statistica, regione critica, errore di prima e seconda specie,
potenza del test e ampiezza del test. Lemma di Neyman-Pearson. Ipotesi
composte e rapporto generalizzato delle verosimiglianze. Modelli
lineari generali: analisi della varianza, regressione. Stima nei
modelli lineari generali: caso normale e caso scorrelato. Teorema di
Gauss-Markov.
Definition of Probability: frequencies, classical definition and
subjective definition. Axiomatic definition of probability space:
events, sigma-algebra, probability, first calculation rules and
continuity of the probability measure. Indipendence and conditioning:
total probability and Bayes theorem. Borel-Cantelli lemma. Random
variables: distribution function and its properties. Continuous and
discrete random variables (Bernoulli, Binomial, Geometric, Negative
Binomial, Ipergeometric, Normal, Uniform, Cauchy, Exponential, Gamma,
Chi-Square, t Student,...). Multidimensional random variables,
indipendence. Moments. Moment generating function and characteristic
function. Inequalities: Markov and Chebyshev. Asymptotics: convergence
in law, convergence in probability, almost sure convergence, normal
limit of the binomial distribution, law of large numbers, central
limit theorem. Conditioning in the continuous case.
Introduction to Statistics: random sampling with replacement.
Construction of the sampling space and definition of the random sample
from a population. Statistics and sample moments. Mean and variance of
the sample moments. Sample mean and sample variance. Distribution of
the sample moments. Point estimation, definition of an estimator.
Moments and maximum likelihood methods. Properties of the estimators:
unbiasedness, mean square error. UMVU estimators. Cramer-Rao Theorem.
Asymptotic properties of the estimators: asymptotic unbiasedness,
consistency. Sufficient estimators. Factorization theorem and
Blackwell-Rao Theorem. Interval estimation: definition of confidence
interval. Pivotal quantity method. Hypothesis testing: definition of
statistical hypothesis, critical region, first and second kind errors,
power and level of significance of the test. Neyman-Pearson Lemma.
Composite hypothesis and genralized likelihood ratio. General linear
model: analysis of variance, regression. Estimation in the general
linear models: Gaussian and uncorrelated cases. Gauss-Markov theorem.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
A. Buonocore, A. Di Crescenzo, L.M. Ricciardi "Appunti di Probabilità", Liguori editore, 2011.
P. Baldi "Calcolo delle Probabilità", McGraw-Hill, 2011.
G. Casella, R.L. Berger "Statistical Inference", Duxbury Press, 2001.
D. Piccolo "Statistica", Il Mulino, 2010.
- Oggetto:
Note
CALCOLO DELLE PROBABILITA' E STATISTICA, INT0400 (DM270), 12 CFU: 12 CFU, MAT/06, TAF A (Base), Ambito Formazione matematica di base
Modalità di verifica/esame:
Prova scritta con voto. Prova orale con voto finale. L'esito positivo della prova scritta permette l'accesso alla sola prova orale immediatamente successiva.
- Oggetto:
