Matematica per l'Economia, la Finanza e l'Assicurazione

L’insegnamento si propone di fornire le basi della algebra e della logica matematica. Questi contenuti fanno parte degli Obiettivi formativi specifici del CdS in Matematica per l'Economia la Finanza e l'Assicurazione (L35), in particolare sono tra quelli relativi all'area di Matematica di base.

CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE. Conoscenza delle principali tecniche di dimostrazione e delle formulazioni classiche del principio di induzione. Conoscenza delle proprietà insiemistiche di base. Conoscenza delle proprietà di base dei numeri reali. 

CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE. Capacità di riconoscere le principali tecniche di dimostrazione (diretta, per assurdo, per contrapposizione, per casi) in semplici dimostrazioni di proposizioni relative a strutture algebriche e relazionali. Capacità di utilizzare le principali forme del principio di induzione (ordinaria, forte, principio del minimo) in semplici dimostrazioni aritmetiche. Capacità di analizzare sia sintatticamente che semanticamente le formule proposizionali, anche mediante l'uso di tavole di verità.

AUTONOMIA DI GIUDIZIO. Acquisizione dei criteri di base per riconoscere la corretta impostazione di una semplice dimostrazione.

ABILITÀ COMUNICATIVE. Acquisizione degli elementi della terminologia logica di base.

CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO. Acquisizione di capacità autonome di apprendimento e di autovalutazione della propria preparazione, teorica e pratica.

Tecniche di dimostrazione (8 ore circa) • Dimostrazione diretta, per assurdo, per contrapposizione; • Connettivi logici e loro significato in termini di condizioni di verità; • Tavole di verità e conseguenza logica tra proposizioni.

Insiemistica di base (8 ore circa) • Insiemi • Relazioni • Funzioni 

Numeri reali: definizione e proprietà di base (2 ore circa)

Il principio di induzione (6 ore circa) • Forma ordinaria e forte del principio di induzione; • Principio del minimo; • Equivalenza tra forme del principio di induzione; • Induzione strutturale; • Ricorsione.

Combinatoria (8 ore circa) • cardinalità di insiemi finiti; • principi della somma e del
prodotto; • Disposizioni semplici e con ripetizioni; • Combinazioni
semplici e con ripetizioni; • Teorema del binomio e triangolo di
Pascal-Tartaglia; • Principio di inclusione-esclusione.

Permutazioni (6 ore circa) • composizione, potenze e inverse di permutazioni;
• decomposizione in cicli disgiunti e decomposizione in trasposizioni, parità di una permutazione; •  il gruppo delle permutazioni.

Aritmetica (10 ore circa) • numeri naturali e interi; • Divisione con resto, MCD e mcm,
algoritmo di Euclide, identità di Bézout; • Numeri primi; • Lemma di Gauss,
lemma di Euclide; • Fattorizzazione unica; • Classi resto, teorema cinese
del resto; • Anelli degli interi e delle classi di resto.

Polinomi (6 ore circa) • grado, divisione, algoritmo di Euclide, fattorizzazione;
• Anello dei polinomi.

Matrici (10 ore circa) • somma, prodotto per uno scalare, prodotto; • Inversa di una
matrice; • Determinanti, teorema di Cramer; • Anello delle matrici.

Strutture algebriche (cenni) (8 ore circa) • gruppi, sottogruppi, morfismi; • teorema di
Lagrange, sottogruppi normali e gruppo quoziente; • anelli,
campi, sotto-anelli, morfismi; • ideali, ideali primi e massimali; • anelli
principali e fattoriali.

Il corso sarà svolto esclusivamente in presenza, con lezioni frontali nelle aule e orari indicati sul sito del Dipartimento di Matematica.

Le prove di esame sono scritte a meno di motivata richiesta di esame orale da parte dei docenti come integrazione della prova scritta. Le domande dello scritto e dell'eventuale orale possono riguardare sia la teoria che lo svolgimento di esercizi. La durata della prova scritta è di due ore. L’esito dell’esame è espresso in trentesimi.