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Analisi Matematica 1 - a.a. 2013/14

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Mathematical Analysis I

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Anno accademico 2013/2014

Codice dell'attività didattica
INT0393
Docenti
Prof. Marco Cappiello (Titolare del corso)
Prof. Elena Cordero (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea Triennale Interfacoltà in Matematica per la Finanza e l'Assicurazione
Anno
1° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF A - Base
Crediti/Valenza
12
SSD dell'attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto e Orale
Prerequisiti
Precorso di analisi
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di fornire allo studente metodi e tecniche fondamentali della Matematica, con particolare riferimento al calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile reale, alle equazioni differenziali e alle differenze, allo studio di successioni numeriche. Ulteriore obiettivo è la preparazione dello studente all’applicazione delle tecniche analitiche alle altre discipline scientifiche.

 

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino",

https://ateneo.cineca.it/off270/web/corso_2012.php?id_corso=1312412&anno=2012&ambiente=offf

http://matematicafinanza.campusnet.unito.it/do/documenti.pl/Show?_id=l1vz

Conoscenza e comprensione. Il corso, rivisitando argomenti di base a un livello più astratto, permette di rafforzare le conoscenze di base (obiettivo 1) mentre si sviluppano le metodiche disciplinari utili per comprendere e utilizzare descrizioni e modelli matematici di situazioni concrete di interesse economico, finanziario ed attuariale (obiettivo 3).  Il corso costituisce un primo passo nella teoria del calcolo differenziale (obiettivo 7) e introduce la teoria delle equazioni differenziali (obiettivo 9). Le esercitazioni previste dal corso, mirano a migliorare la capacità di soluzione di problemi (in genere teorici), di migliorare la padronanza dei concetti e di favorire capacità di problem solving.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione. Le esercitazioni previste dal corso, mirano a migliorare la capacità di soluzione di problemi (in genere teorici), di migliorare la padronanza dei concetti e di favorire capacità di problem solving (obiettivi 1,2).

Autonomia di giudizio. La natura istituzionale del corso richiede lo sforzo dello studente per migliorare le sue capacità di argomentazione logiche nel riconoscere l’importanza delle ipotesi per il raggiungimento delle conclusioni. Lo studente dovrà abituarsi a riconoscere errori o l’incompletezza delle ipotesi in dimostrazioni (obiettivi 1,2). L’assegnazione  regolare di esercizi favorirà l’abitudine al lavoro di gruppo da affiancare al lavoro individuale (obiettivo 4). L’ampia letteratura suggerita favorirà l’iniziativa individuale di approfondimenti, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell’affrontare nuove problematiche (obiettivo 3).

Abilità comunicative.  L’esame, sia scritto che orale, costringe lo studente a esprimersi in modo matematicamente rigoroso e sviluppa  abilità comunicative sia scritte che orali (obiettivo 1).

Capacità di apprendimento. Il lavoro richiesto per questo corso è un primo passo utile per lo sviluppo di una mentalità flessibile, utile per studi di terzo livello o per inserirsi in diversi ambiti lavorativi (obiettivi 1, 2).

 

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Risultati dell'apprendimento attesi

Si attendono la conoscenza degli elementi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile reale. Lo studente sarà in particolare in grado di procedere allo studio qualitativo dei grafici delle funzioni elementari, di risolvere problemi di integrazione di carattere elementare, di risolvere problemi di integrazione di equazioni differenziali ordinarie, di discutere il carattere di successioni numeriche; di sapere enunciare e dimostrare i teoremi di base dell'Analisi Matematica.

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Programma

 

I numeri reali.

 

Introduzione allo studio del campo dei numeri reali. Insiemi aperti e chiusi, intervalli ed intorni. I numeri naturali ed il principio di induzione. Fattoriale, coefficienti binomiali e formula del binomio di Newton.

 

Successioni numeriche.

 

Successioni e limiti. Successioni convergenti, divergenti, monotone. Il numero e. Sottosuccessioni, massimo e minimo limite. Punti di accumulazione e successioni di Cauchy. Teorema di Bolzano-Weierstraß. Successioni numeriche nelle Scienze Applicate.

 

Funzioni.

 

Definizione di funzione, grafico, funzioni iniettive, suriettive e biiettive, monotone, composte, inverse. Grafico delle funzioni elementari. Le funzioni iperboliche e inverse, trigonometriche e inverse. Operazioni elementari sui grafici di funzione: traslazioni, rotazioni, riflessioni. Grafici di semplici funzioni composte e inverse.

 

Limiti e continuità per funzioni di una variabile reale.

 

Definizione di limite e di continuità. Teorema della permanenza del segno, di limitatezza locale, del confronto, criterio di Cauchy. Limiti fondamentali. Funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato: funzioni uniformemente continue e teorema di Heine-Cantor, dell’esistenza degli zeri,  di Weierstraß, dei valori intermedi.

 

Calcolo differenziale in una variabile e applicazioni.

 

Definizione di derivata e di differenziale. Derivate delle funzioni elementari. Derivata della somma, prodotto, quoziente, composte e inverse. Derivate successive. Punti critici ed estremi. Teoremi di Rolle, Lagrange ed applicazioni. Teorema di de L’Hôpital. Ordini di infinitesimo e di infinito. Simboli O e o. Formula di Taylor e applicazione al calcolo dei limiti. Monotonia e derivata prima. Punti di non derivabilità. Teorema di Darboux. Convessità, concavità, flessi e derivata seconda. Asintoti. Studio e rappresentazione del grafico di una funzione.

 

Calcolo integrale in una dimensione.

 

Integrale secondo Riemann di una funzione limitata. Proprietà di linearità, additività rispetto il dominio di integrazione e monotonia. Integrabilità delle funzioni continue. Legame fra derivata e integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti e sostituzione. Funzioni integrali e primitive. Integrali indefiniti. Metodi di integrazione indefinita per funzioni razionali. Teorema di Liouville sulle funzioni non integrabili elementarmente. Integrali impropri.

 

Equazioni differenziali.

 

Introduzione alle equazioni differenziali e ai modelli continui. Equazioni differenziali del primo ordine: metodi risolutivi per le equazioni a variabili separabili, lineari. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti complete: metodi risolutivi. Esempi applicativi: modello di crescita economica di Domar. Modelli in dinamica delle popolazioni: legge di Malthus e modello di Verhulst.

 

Equazioni alle differenze.

 

Equazioni alle differenze e modelli discreti: generalità. Equazioni alle differenze lineari del primo ordine: metodi risolutivi. Equazioni alle differenze lineari del secondo ordine. Successioni per ricorrenza e equazioni alle differenze del primo ordine non lineari. Esempi applicativi: il modello della ragnatela. Le successioni aritmetiche e geometriche applicate a problemi economici.

 

 

 

 

 

 

  

Real numbers.

Introduction to the theory of the field of real numbers. Open sets, intervals and neighbourhoods. The natural numbers and the principle of induction. Factorial, binomial coefficients, Newton’s binomial formula.

Numerical sequences.

Limit of a numerical sequence. Convergent, divergent, monotone sequences. The real number e. Subsequences, superior and inferior limit. Accumulation points and Cauchy sequences. The Bolzano-Weierstrass's theorem. Numerical sequences in Applied Sciences.

Functions.

Definition of  function and its graph. Injective, surjective, bijective, monotonic, composed, inverse functions. The graph of the elementary functions. Hyperbolic functions and inverses, trigonometric functions and inverses. Operations on functions: translations, rotations, reflections of the graph. Graph of simple composed and inverse functions.

Limits and continuity for real functions.

Basic definitions and properties of limits and continuity. Theorem on the sign of a function, Squeeze theorem, Cauchy Theorem. Theorems on continuous functions defined on intervals: uniformly continuous functions and Heine-Cantor theorem, Theorem on the existence of a root, Weierstraß Theorem, intermediate value Theorem.

Differential calculus of a single variables and applications.

Derivative and differential of functions. Derivative of basic functions. Derivative of sum, product, quotient, composite and inverse functions. Higher derivatives. Critical points, maximum and minimum. Rolle, Lagrange Theorems and applications. De L’Hôpital Theorem. Infinites and infinitesimals. Comparing infinitesimals and infinites: the symbols O e o. Taylor’s formulas and applications to the limits calculation. Relation between decrasing or increasing functions and their derivatives. Non derivative points. Darboux Theorem. Concave, convex functions, inflection points and second derivative. Asymptotes. Study and graph representation of functions.

Integral calculus of a single variables.

Riemann integral for a bounded function. Fundamental properties: linearity, additivity with respect to the domain of integration, monotonicity. Integrability of continuous functions. Relation between derivative and integral. Integration by substitution and by parts. Notions of integral functions and primitive. Indefinite integral and techniques of indefinite integration for rational functions. Liouville Theorem on integration in finite terms. Improper integrals.

Differential equations.

Introduction to the differential equations and continuous models. First order differential equations: solution method for the separable, the linear equations. The second order linear differential equations with constant coefficients: solution methods. Applications: the Domar model in development economics. Malthusian and Verhulst growth model in Population Dynamics.

Difference equations.

Introduction to the difference equations and the discrete dynamical systems. The first order linear difference equations and the second order linear difference equations with constant coefficients: solution methods. Recursive sequences and the first order nonlinear difference equations. Arithmetic and geometric progressions. Applications of the difference equations in Economics.

 

 

 

 

 

 

 

Testi consigliati e bibliografia

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L. Rodino, Lezioni di Analisi Matematica 1, Levrotto &Bella, Torino.

C. Trapani, Analisi Matematica, Funzioni di una variabile reale, McGraw-Hill

Verrà distribuito ulteriore materiale didattico durante lo svolgimento del corso.

 



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Note

ANALISI MATEMATICA 1, INT0393 (DM270), 12 CFU: 12 CFU, MAT/05, TAF A (Base), Ambito Formazione matematica di base

Modalità di verifica/esame: L’esame consiste in una prova scritta preliminare e una prova orale successiva che conclude l’esame.  Il superamento della prova scritta è condizione necessaria per sostenere la prova orale. L’esame scritto, una volta superato, resta valido unicamente per la sessione d’esami in cui è stato superato.

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Ultimo aggiornamento: 27/03/2015 09:43

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