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Dipartimento di Matematica "Giuseppe Peano"

Corso di laurea in matematica per la Finanza e l'Assicurazione

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Oggetto:
Oggetto:

Analisi Matematica 2

Oggetto:

Mathematical Analysis 2

Oggetto:

Anno accademico 2023/2024

Codice attività didattica
INT0401
Docenti
Paolo Boggiatto (Titolare)
Diego Berti (Titolare)
Corso di studio
[090712] MATEMATICA PER LA FINANZA E L'ASSICURAZIONE
Anno
2° anno
Periodo
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF A - Base
Crediti/Valenza
12
SSD attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Scritto e Orale
Prerequisiti

L’insegnamento prevede la conoscenza di vari contenuti affrontati negli insegnamenti di Analisi matematica 1, Geometria ed algebra lineare, Fisica e Microeconomia.

In particolare, a livello di conoscenza e comprensione in ingresso lo studente dovrà:

❏ conoscere il concetto di successione numerica e le definizioni di successione convergente, divergente ed indeterminata
❏ ricordare il risultato sui limiti di successioni monotone
❏ conoscere la definizione di limite di una funzione di una variabile reale, con il linguaggio degli intorni
❏ ricordare i concetti di continuità e continuità uniforme per le funzioni di una variabile reale e saper discutere i legami che tra essi intercorrono
❏ conoscere i principali risultati teorici sui limiti e sulla continuità per le funzioni di una variabile reale (teorema della permanenza del segno, teorema del confronto, teorema di esistenza degli zeri, teorema di Weierstrass)
❏ ricordare le definizione di derivata di una funzione di una variabile reale
❏ conoscere i significati della derivata in termini cinematici (velocità istantanea), economici (tasso marginale) ed in generale come tasso istantaneo di variazione
❏ ricordare i principali risultati teorici sul calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale
❏ conoscere il significato dell’approssimazione di una funzione mediante un polinomio di Taylor
❏ ricordare la formula di Taylor per una funzione di una variabile reale
❏ conoscere la definizione di integrale di Riemann di una funzione in un intervallo chiuso e limitato
❏ ricordare il teorema di Torricelli-Barrow
❏ conoscere il concetto di primitiva di una funzione
❏ ricordare il teorema fondamentale del calcolo integrale e saperne discutere il significato
❏ conoscere la definizione di integrale improprio di una funzione su un intervallo illimitato
❏ ricordare i criteri di convergenza per gli integrali impropri
❏ ricordare il concetto di applicazione lineare tra spazi euclidei
❏ conoscere la definizione di forma quadratica ed il concetto di segnatura
❏ conoscere il significato di diagonalizzazione di una forma quadratica
❏ ricordare le definizione di prodotto scalare e norma negli spazi euclidei
❏ ricordare i teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli sulla risolubilità di un sistema di equazioni lineari
❏ conoscere la differenza tra legge oraria e traiettoria in un moto nello spazio bi/tri-dimensionale
❏ ricordare l’espressione della legge oraria di un moto uniformemente accelerato
❏ riconoscere l’espressione della legge oraria di un moto piano circolare uniforme
❏ conoscere la legge di gravitazione universale e le espressioni della forza di gravitazione universale esercitata da una massa puntiforme e del suo potenziale
❏ ricordare la definizione di lavoro compiuto da una forza lungo uno spostamento
❏ conoscere i concetti di campo elettrico e flusso di un campo elettrico
❏ ricordare la legge di Gauss sul flusso di un campo elettrico
❏ rievocare il principio di conservazione dell’energia meccanica in sistemi isolati
❏ ricordare il problema del consumatore, con riferimento alla funzione di utilità ed al vincolo di bilancio
❏ ricordare il concetto di funzione di produzione ed il significato degli isoquanti
❏ conoscere i concetti di tasso marginale di sostituzione e tasso tecnico marginale di sostituzione

Inoltre, come applicazione di conoscenza e comprensione, lo studente dovrà saper:

❏ calcolare semplici limiti di successioni o di funzioni di una variabile reale
❏ calcolare la derivata di una funzione di una variabile reale
❏ tracciare un grafico qualitativo di una funzione di una variabile, usando metodi elementari o tecniche del calcolo differenziale
❏ calcolare integrali definiti di funzioni di una variabile reale, usando gli usuali metodi di integrazione
❏ disegnare semplici sottoinsiemi del piano, individuati a partire da rette e coniche
❏ riconoscere alcune superfici notevoli dello spazio tridimensionale (piani, sfere, paraboloidi, coni)
❏ determinare la matrice associata ad una applicazione lineare tra spazi euclidei
❏ determinare gli autovalori e gli autovettori di una matrice simmetrica

Una autovalutazione sul possesso di questi prerequisiti potrà essere effettuata dallo studente all’inizio dell’insegnamento attraverso un’attività sulla piattaforma Moodle.

Infine, lo studente dovrà saper utilizzare un software di calcolo simbolico e visualizzazione grafica.


The course requires the knowledge of various concepts tackle in different courses of Mathematical Analysis 1, Geometry and Linear Algebra, Physics, and Microeconomics.

In particular, at the beginning of the course the student must be able to:

❏ know the notion of sequence and the definitions of convergent, divergent, and oscillating sequences;
❏ remember the result on the limits of monotone sequences;
❏ know the definition of the limit of a function of one real variable, with the language of neighborhoods;
❏ remember the notions of continuity and uniform continuity for functions of one real variable and be able to discuss the link between them;
❏ know the basic theoretical results on limits and on the continuity for functions of one real variable (squeeze theorem, Bolzano's theorem, Weierstress’s theorem,…);
❏ remember the definition of derivative of a functions of one real variable;
❏ know the kinematic meaning of the derivative (instantaneous speed), economic meaning (marginal rate) and, more generally, its meaning as instantaneous rate of variation;
❏ remember the principal theoretical results on differential calculus for functions of one real variable;
❏ know the meaning of approximation of a function by means of Taylor polynomials;
❏ remember the Taylor formula for functions of one real variable;
❏ know the definition of the Riemann integral of a function in a closed and bounded interval;
❏ remember the Torricelli-Barrow theorem;
❏ know the notion of primitive function;
❏ remember the fundamental theorem of calculus and be able to discuss its meaning;
❏ know the definition of improper integral of a function on an unbounded interval;
❏ remember the criteria of convergence for improper integrals;
❏ remember the notion of linear map between euclidean spaces;
❏ know the definition of quadratic form and the concept of signature;
❏ know the meaning of diagonalization of a quadratic form;
❏ remember the definition of scalar product and norm in euclidean spaces;
❏ remember the Cramer theorem and the Rouché-Capelli theorem about solutions of a system of linear equations;
❏ know the difference among the law of motions and the trajectory in the euclidean plane or in the euclidean space;
❏ remember the expression of the law of a motion with constant acceleration;
❏ recognize the expression of the law of a uniform circular motion in the euclidean plane;
❏ know the Newton's law of universal gravitation and the expressions of the force of universal gravitation on a point particle and of its potential;
❏ remember the definition of the work done by a force along a displacement;
❏ know the notion of electric field and flux of an electric field;
❏ remember the Gauss law on the flux of an electric field;
❏ bring back the conservation principle of the mechanical energy in isolated systems;
❏ remember the consumer problem, by paying attention to the utility function and the budget constraint;
❏ remember the notion of production function and the meaning of isoquants;
❏ know the notion of marginal rate of substitution and marginal rate of technical substitution.

Moreover, as applications of the previous concepts the student must be able to:

❏ compute simple limits of sequences or of functions of one real variable;
❏ compute the derivative of a function of one real variable;
❏ draw a qualitative graph a function of one real variable, by using elementary methods or techniques of differential calculus;
❏ compute definite integrals of functions of one real variable, by using usual methods of calculus;
❏ draw simple subsets of the plane, coming from lines and conics;
❏ identify some fundamental surfaces of the euclidean space (planes, spheres, paraboloids, cones);
❏ determine the associated matrix to a linear map between euclidean spaces;
❏ determine the eigenvalues and the eigenvectors of a symmetric matrix.

A self-assessment on the mastery of these prerequirements could be taken by the student at the beginning of the course, by an activity on Moodle platform.

Finally, the student need to know a symbolic calculus software and a graph visualization software.

Propedeutico a
Metodi analitici
Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

L'insegnamento ha lo scopo di presentare i risultati principali sulle funzioni in più variabili e sulle serie, unitamente ad alcune loro applicazioni in ambito economico-finanziario.

L’insegnamento concorre agli obiettivi della formazione teorica di base, con particolare riferimento alla capacità di costruire ragionamenti logici, riconoscere argomentazioni corrette, ed in parte a quella pratico-laboratoriale, con la capacità di analizzare modelli matematici.

The course aims at presenting the fundamental results on functions of several variables and on series, together with some applications to economical and financial problems.

The course contributes to the objectives of the theoretical education, with particular reference to the capacity of creating a logical reasoning and recognizing correct argumentations, and partially, of a practical activity, with the capacity of analyzing mathematical models.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza e comprensione

Alla fine di questo insegnamento lo studente dovrà:

  • ricordare la definizione di curva parametrica e di sostegno di una curva:
  • saper collegare il concetto geometrico di curva con quello cinematico di legge oraria e mettere in relazione il sostegno di una curva con la traiettoria di un moto;
  • saper fornire esempi significativi di curve nel piano e nello spazio;
  • ricordare la nozione di orientazione di una curva e riconoscere curve equivalenti od opposte;
  • rievocare la definizione di regolarità di una curva;
  • ricordare le principali definizioni relative alla topologia in RN;
  • rievocare la definizione di insiemi di livello di un campo scalare e saper interpretare gli insiemi di livello in termini di funzioni economiche (funzione di utilità, funzione di produzione, funzione di costo);
  • ricordare la definizione di continuità di campi scalari o vettoriali;
  • riconoscere la definizione di derivata parziale o direzionale di un campo scalare;
  • ricordare la definizione di differenziabilità di un campo scalare e la sua interpretazione in termini di approssimazioni lineari;
  • saper enunciare e dimostrare il teorema sulla differenziabilità dei campi scalari con derivate parziali continue;
  • saper discutere le proprietà dei campi scalari a gradiente ovunque nullo;
  • conoscere le definizioni di campo vettoriale e matrice jacobiana di un campo vettoriale;
  • ricordare la definizione di differenziabilità di un campo vettoriale;
  • saper enunciare il teorema sulla differenziabilità della composizione di due campi vettoriali e saperne interpretare i casi più significativi;
  • riconoscere e ricordare le coordinate polari nel piano e le coordinate sferiche nello spazio;
  • conoscere la definizione di superficie parametrica ed il concetto di superficie regolare;
  • ricordare la definizione di campo conservativo e di campo irrotazionale;
  • saper discutere le relazioni tra campi conservativi e campi irrotazionali, anche in dipendenza dalle proprietà topologiche del dominio;
  • conoscere la definizione di integrale di un campo lungo una curva ed il suo significato in termini di lavoro;
  • ricordare la relazione tra l’integrale di un campo lungo una curva e la variazione di potenziale del campo;
  • riconoscere i campi centrali e studiarne le loro proprietà;
  • conoscere il problema delle funzioni implicite e le sue interpretazioni grafiche ed economiche (tassi marginali di sostituzione);
  • saper enunciare il teorema della funzione implicita, sia nel caso generale sia in casi particolari;
  • conoscere la definizione di punto critico e di punto di ottimo di un campo scalare;
  • ricordare la condizione del primo ordine per i punti di ottimo liberi di un campo scalare;
  • saper enunciare e dimostrare il teorema sulle condizioni del secondo ordine per i punti di ottimo liberi di un campo scalare;
  • saper illustrare il problema della regressione lineare e ricordare il metodo dei minimi quadrati e la sua soluzione;
  • saper enunciare e dimostrare il teorema sui moltiplicatori di Lagrange per la soluzione di un problema di ottimizzazione con vincoli di uguaglianza;
  • ricordare il teorema sui moltiplicatori di Kuhn-Tucker per la soluzione di un problema di ottimizzazione con vincoli di disuguaglianza;
  • conoscere il significato dei moltiplicatori di Lagrange e di Kuhn-Tucker;
  • conoscere il problema della definizione di misura di un insieme e discuterne le principali caratteristiche;
  • ricordare la definizione di integrale doppio e di integrale triplo;
  • enunciare le formule per la riduzione di un integrale multiplo;
  • ricordare il teorema sul cambiamento di variabili in un integrale multiplo;
  • conoscere la definizione di serie numerica;
  • ricordare i risultati sulla convergenza della serie geometrica e delle serie armoniche generalizzate;
  • illustrare l’applicazione della serie geometrica a problemi di flussi di investimenti;
  • enunciare i principali criteri per la convergenza di una serie a termini di segno positivo;
  • conoscere il concetto di convergenza assoluta di una serie e collegarlo a quello di convergenza;
  • enunciare e dimostrare il criterio di Leibniz per la convergenza di una serie a termini di segno alternato;
  • ricordare le definizioni di serie di Taylor di una funzione e di funzione analitica;
  • enunciare una condizione sufficiente per l’analiticità di una funzione;
  • riconoscere una serie di potenze ed illustrarne le proprietà di convergenza;
  • conoscere i risultati sulla derivabilità della somma di una serie di potenze.

Applicare conoscenza e comprensione

Alla fine di questo insegnamento lo studente saprà:

  • individuare il sostegno di una curva e rappresentarlo nel piano o nello spazio;
  • calcolare velocità, accelerazione, traiettoria di un moto, a partire dalla legge oraria;
  • riconoscere se un sottoinsieme di RN sia aperto, chiuso, limitato, compatto, connesso, convesso;
  • tracciare il grafico degli insiemi di livello di un campo scalare, in semplici casi;
  • determinare le derivate parziali, le derivate direzionali ed il gradiente di un campo scalare;
  • scrivere l’equazione dell’iperpiano tangente ad un campo scalare in un punto del suo grafico;
  • determinare la matrice jacobiana di un campo vettoriale;
  • applicare le formule per il calcolo della matrice jacobiana della composizione di campi vettoriali;
  • determinare il gradiente di un campo scalare in coordinate polari oppure in coordinate sferiche, a partire da quello in coordinate cartesiane;
  • discutere la regolarità di una superficie e determinarne il piano tangente in un punto;
  • individuare il sostegno di una superficie e rappresentarlo nello spazio;
  • determinare se un campo sia conservativo o irrotazionale;
  • calcolare l’integrale di un campo lungo una curva;
  • determinare i punti critici di campi scalari e studiarne la natura;
  • calcolare la retta dei minimi quadrati in un problema di regressione lineare;
  • determinare i punti di ottimo di un campo scalare vincolato;
  • risolvere il problema del consumatore, il problema della massimizzazione del profitto ed il problema della minimizzazione dei costi;
  • calcolare un integrale doppio ed un integrale triplo, usando le formule di riduzione;
  • calcolare un integrale doppio ed un integrale triplo, usando coordinate polari o sferiche;
  • determinare la media di un campo scalare;
  • discutere la convergenza di una serie;
  • risolvere problemi legati a flussi di investimenti, usando i risultati sulla serie geometrica;
  • calcolare il raggio di convergenza di una serie di potenze;
  • determinare l’insieme di convergenza di una serie di potenze.

Autonomia di giudizio

Alla fine di questo insegnamento lo studente saprà:

  • costruire ragionamenti fondati, con la necessaria coerenza logica;
  • riconoscere argomentazioni corrette ed individuare ragionamenti fallaci.

Capacità di apprendimento

Alla fine di questo insegnamento lo studente saprà affrontare nuovi semplici problemi che richiedano competenze interdisciplinari, analizzando possibili strategie di risoluzione.

 

Knowledge

At the end of the course the student will be able to

  • remember the definition of parametric curve and of support of a curve;
  • link the geometrical notion of a curve with its kinetic counterpart and put in relation the support of a curve with the trajectory of a motion;
  • remember the principal topological definitions about the euclidean space;
  • recall the definition of level set of a vector field and interpret the level sets in terms of economical functions (utility function, production function, cost function);
  • remember the definition of continuity of scalar and vector fields;
  • know the definition of partial derivative and directional derivative of a scalar field;
  • recall the definition of differentiability of a scalar field and its interpretation via linear approximations;
  • state and prove the theorem about the differentiability of scalar field with continuous partial derivatives;
  • know the definitions of vector field and of Jacobian matrix of a vector field;
  • remember the definition of differentiability of a vector field;
  • state the theorem on the differentiability of the composition of two vector fields, also by interpreting more significant cases;
  • know the definition of a parametric surface and the concept of regular surface;
  • know the difference among surface and support of a surface;
  • remember the definition of a conservative field and irrotational field;
  • discuss the relations between conservative fields and irrotational ones, also depending on the topological properties of the domain;
  • know the definition of integral of a field along a curve and its meaning related to the work;
  • remember the relation between integral of a field along a curve and the variation of a potential of the field;
  • know the problem of the implicit functions and its graphical and economical interpretations (marginal rate of substitution);
  • state the theorem of the implicit function, in the general as well as in particular cases;
  • know the definition of critical point and of optimal point of a scalar field;
  • recognize the condition at first order for the unconstrained optimal points of a scalar field;
  • state and prove the theorem on the conditions at second order for unconstrained optimal point of a scalar field;
  • show the problem of linear regression and remember the method of least squares and its solution
  • state and prove the theorem on Lagrange multipliers for the solution of an optimization problem subject to equality constraints;
  • remember the theorem on Kuhn-Tucker multipliers for the solution of an optimization problem subject to inequality constraints;
  • know the meaning of Lagrange and Kuhn-Tucker multipliers;
  • know the problem in the definition of the measure of a set and discuss some principal properties;
  • remember the definition of double integral and triple integral;
  • state the formulae in order to reduce to a multiple integral;
  • remember the theorem of change of variables in multiple integrals;
  • know the definition of numerical series;
  • remember the results on the convergence of the geometrical and of the generalized harmonic series;
  • show the application of the geometrical series to problems of investment flow;
  • state the principal criteria for the convergence of a numerical series with nonnegative terms;
  • know the notion of absolute convergence of a serie and its link with the one of convergence;
  • state and prove the Leibinz criterion for the convergence of alternating series;
  • remember the definitions of a Taylor series of a function and of an analytic function;
  • state a sufficient condition for the analyticity of a function;
  • know the definition of pointwise convergence and uniform convergence for sequences of functions;
  • link and analyze the notions of pointwise convergence and uniform convergence for sequences of functions;
  • show the importance of uniform convergence in the results of continuity, derivability and integrability for sequences of functions;
  • recognize a power serie and show its properties of convergence;
  • know the results on the derivability of the sum of a power serie.

Applications

At the end of the course the student will be able to

  • find the support of a curve, representing it in the plane or in the space;
  • compute the velocity, the acceleration, the trajectory of a motion, starting from the law motions;
  • compute the length of a regular curve in simple cases;
  • recognize when a subset of the euclidean space is open, closed, bounded, compact, connected, convex, star-shaped;
  • draw the graph of level sets of a scalar field in simple cases;
  • determine the partial derivatives, the directional derivatives, and the gradient, of a scalar field;
  • write the equation of the tangent hyperplane to a scalar field in a point of its graph;
  • determine the Jacobian matrix of a vector field;
  • apply the formulae for the computation of the Jacobian matrix of the composition of vector fields;
  • determine the gradient of a scalar field in polar coordinates or in spherical coordinates, starting from the one written in cartesian coordinates;
  • discuss the regularity of a surface and determine its tangent plane in a point;
  • find the support of a surface, representing it in the space;
  • determine when a field is conservative or irrotational;
  • compute the integral of a field along a curve;
  • determine the critical points of scalar fields and study their nature;
  • compute the line of least squares in a simple problem of linear regression;
  • determine the optimal points of a constrained scalar field;
  • solve the consumer problem, maximizing the profit, minimizing the costs
  • compute a double integral and a triple integral, using suitable formulae for reducing the integral or a change of variable;
  • discuss the convergence of a serie;
  • solve problems of investments flows, using results on geometrical series;
  • discuss pointwise and uniform convergences of a sequence of functions;
  • apply the results on the passage to the limit under the integral for sequences of functions;
  • compute the radius of convergence of power series;
  • determine the set of convergence of power series.

 

 

Oggetto:

Programma

1. Curve

1.1 Curve parametriche, sostegno; interpretazione cinematica del concetto di curva

1.2 Curve regolari. Cambiamenti di parametrizzazione; curve equivalenti e curve opposte

2. Elementi di topologia in RN

2.1 Insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti

2.2 Insiemi connessi, convessi, stellati

3. Campi scalari

3.1 Campi lineari e forme quadratiche

3.2 Grafici e curve di livello

3.3 Continuità

3.4 Derivate parziali, derivate direzionali, gradiente; differenziabilità e sue conseguenze

3.5 Matrice hessiana

4. Campi vettoriali

4.1 Matrice jacobiana; differenziabilità

4.2 Differenziabilità della funzione composta

4.3 Superfici parametriche

4.4 Teorema della funzione implicita

5. Ottimizzazione di campi scalari

5.1 Massimi e minimi di campi scalari; teorema di Weierstrass

5.2 Condizione necessaria del primo ordine per estremi liberi: teorema di Fermat

5.3 Formula di Taylor del secondo ordine per campi scalari

5.4 Condizioni sufficienti del secondo ordine per estremi liberi

5.5 Ottimizzazione vincolata: vincoli di uguaglianza e moltiplicatori di Lagrange

5.6 Ottimizzazione vincolata: vincoli di disuguaglianza e moltiplicatori di Kuhn-Tucker

6. Campi vettoriali conservativi

6.1 Campo gravitazionale e suo potenziale; campi centrali

6.2 Campi conservativi, potenziali e loro caratterizzazione

6.3 Integrazione di campi lungo curve

6.4 Campi irrotazionali

7. Integrazione multipla ed integrazione su superfici

7.1 Integrali doppi: definizione; formule di riduzione; integrazione in coordinate polari

7.2 Il concetto di misura; insiemi di misura nulla

7.3 Integrali tripli: definizione; integrazione per fili e per strati; integrazione in coordinate sferiche

8. Serie numeriche

8.1 La serie geometrica e le sue applicazioni ai flussi di investimenti

8.2 Serie numeriche: definizione ed esempi

8.3 Criteri di convergenza per le serie a termini di segno positivo

8.4 Serie a termini di seno qualsiasi: la convergenza assoluta

8.5 Serie a termini di segno alternato: il criterio di convergenza di Leibniz

9. Serie di funzioni

9.1 Serie di Taylor

9.2 Serie di potenze: dominio di convergenza; convergenza puntuale ed assoluta; comportamento agli estremi dell’intervallo di convergenza; proprietà della somma

Il programma dettagliato dell’insegnamento sarà disponibile su Moodle.

 

 

  1. Curves
    1. Parametric curves, support; kinematic interpretation of the notion of a curve
    2. Regular curves. Change of parametrization; equivalent curves and opposite curves
  2. Elements of topology of RN

2.1 Open, closed, bounded, compact sets

2.2 Connected, convex, star-shaped sets

  1. Scalar fields
    • Linear fields and quadratic forms
    • Graphs and level curves
    • Continuity
    • Partial derivatives, directional derivatives, gradient; differentiability and its consequences
    • Hessian matrix
  2. Vector fields

4.1 Jacobian matrix; differentiability

4.2 Differentiability of a composition of functions

4.3 Parametric surfaces

4.4 Theorem of the implicit function

  1. Optimization of scalar fields

5.1 Maxima e minima of scalar fields; Weierstrass’s theorem

5.2 Necessary condition of the first order for unconstrained problems: Fermat’s theorem

5.3 Taylor formula of the second order for scalar fields

5.4 Sufficient condition of the second order for unconstrained problems

5.5 Constrained optimization: equality constrains and Lagrange multipliers

5.6 Constrained optimization: inequality constrains and Kuhn-Tucker multipliers

  1. Conservative vector fields

6.1 Gravitational field and its potential; central field

6.2 Conservative fields, potentials and their characterization

6.3 Integration of fields along curves

6.4 Irrotational fields

  1. Multiple integration and integration on surfaces

7.1 Double integrals: definition; formulae for reduction; integration in polar coordinates

7.2 The concept of measure; sets of measure zero

7.3 Triple integral: definition; methods of integration; integration in spherical coordinates

  1. Numerical series

8.1 Geometrical serie and applications to investment flows

8.2 Numerical series: definitions and examples

8.3 Criteria of convergence for series with non-negative terms

8.4 Generic series: the absolute convergence

8.5 Alternating series: the Leibniz criterion

  1. Series of functions
    • Taylor series
    • Power series: domain of convergence; pointwise and absolute convergence; behavior at the endpoints of the interval of convergence; property of the sum

The detailed program of the course will be available on the Moodle platform.

Oggetto:

Modalità di insegnamento

Le modalità di insegnamento comprendono: 

  • lezioni frontali supportate dall’uso di strumenti di videoscrittura 
  • attività ed esercitazioni in aula
  • lezioni di tutorato con partecipazione degli studenti: svolgimento di esercizi, discussioni.
  • Attività e materiale online (Piattaforma Moodle): video delle lezioni (relative al programma d'esame dell'anno in corso ma eventualmente registrate in anni precedenti)

Teaching methods include: 

  • frontal lessons supported by the use of tools of word processing 
  • exercises in classroom
  • tutoring with the participation of students: exercises, discussions.
  • Activities and online material (Moodle platform): videos of the lessons (covering the current program but possibly registered in previous years) 

Oggetto:

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova che comprende domande di teoria (definizioni, proprietà eventualmente con dimostrazione, esempi) ed esercizi sui concetti visti in teoria.

L'esame sarà suddiviso in una prova scritta ed una orale da svolgersi nella stessa giornata (o in giornate successive secondo le esigenze). Durante la prova scritta non e' consentito usare testi, appunti, ne' dispositivi elettronici, e' consentito unicamente l'uso di un formulario di formato A4. Il voto e' espresso in trentesimi per entrambe le prove. Per accedere alla prova orale e' necessario un voto di scritto maggiore o uguale a 18. Il voto della prova scritta non verrà verbalizzato, il voto espresso dopo l'orale sara' quello definitivo.

Nel caso non sia possibile un esame in presenza, il tutto si svolgera' su web unificando scritto ed orale in una sola prova.

E' possibile sostenere l'esame in inglese.

Gli studenti degli anni accademici precedenti sosterranno l'esame con programma e modalità dell'anno in corso, indipendentemente dall'anno accademico di iscrizione o di prima frequenza dell'insegnamento.

The exam consists of a test about the theory (definitions, properties possibly with proofs, examples) and exercices on the concepts developed in the theory.

It will be divided into a written examination and an oral examination to be taken on the same day (or on subsequent days if logistically necessity). During the written examination books, notes and electronic devises are not allowed, however an A4 form can be consulted. The evaluation is expressed between 0 and 30. For the admission to the oral examination an evaluation of at least 18 in the written examination is required. The evaluation of the written esamination will not be officialized, the final official evaluation will be given after the oral examination.

In case of impossibility of attendance the examination will be held on web in a single exam unifying written and oral parts.

It is possible to take the exam in English.

Students of previous academic years take the exam with the program and the modality of the year in progress.

Oggetto:

Attività di supporto

Tutorato 

Tutorial classes 

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
Analisi matematica 2, con MyLab
Anno pubblicazione:  
2021
Editore:  
Pearson
Autore:  
Canuto - Tabacco
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Oggetto:

Analisi matematica 2

Autori: Claudio Canuto, Anita Tabacco 

Casa editrice: Springer

Analisi matematica 2
Authors: Claudio Canuto, Anita Tabacco 
Publisher: Springer



Oggetto:

Note

Propedeuticità: Analisi Matematica 1 è propedeutica ad Analisi Matematica 2

 

 

Oggetto:

Orario lezioniV

Registrazione
  • Aperta
    Oggetto:
    Ultimo aggiornamento: 12/09/2023 10:35

    Location: https://matematicafinanza.campusnet.unito.it/robots.html
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